PINNs y control contradiabático

De la predicción al control

En la primera entrada, una red neuronal representaba un campo de temperatura. Aquí representa las funciones que controlan un sistema cuántico: a qué velocidad cambia un parámetro y qué interacciones adicionales acompañan ese cambio. La red es clásica; sus salidas parametrizan un hamiltoniano cuántico.

El control contradiabático da un objetivo físico a esas salidas. Añade un término que cancela las transiciones entre los autoestados instantáneos de un hamiltoniano de referencia, manteniendo el seguimiento adiabático durante una evolución más rápida. El trabajo de Berry sobre evolución sin transiciones precisa esta construcción.

Un modelo de espín soluble establecerá qué debe lograr un buen control. Después convertiremos ese requisito en salidas de una red, una pérdida basada en la física y un procedimiento de entrenamiento. Las figuras muestran cálculos analíticos contrastados con evolución numérica.

Un espín en un campo que gira

Consideremos un espín un medio aislado en un campo cuya dirección gira en el plano $x$ – $z$ . Los operadores de Pauli describen sus direcciones de control. Usamos $ℏ = 1$ y una frecuencia de separación $Ω = 1$ : el tiempo se mide en $Ω^{- 1}$ y la energía en $ℏ Ω$ . El hamiltoniano de referencia es

\begin{matrix} H_{0} (t) = \frac{1}{2} [\cos θ (t) σ_{z} + \sin θ (t) σ_{x}], \\ θ (t) = \frac{π t}{T} . \end{matrix}

Durante el tiempo total $T$ , el ángulo $θ$ aumenta de cero a $π$ . Los niveles de energía permanecen en $- 1 / 2$ y $+ 1 / 2$ , mientras sus autovectores giran. Partiendo del estado fundamental inicial, una evolución lenta sigue al estado fundamental móvil; un giro más rápido puede provocar transiciones. El objetivo es seguir ese estado durante todo el protocolo, no solo recuperarlo al final.

Añadir el término contradiabático

El hamiltoniano adicional exacto es

H_{CD} = \frac{\dot{θ}}{2} σ_{y} = \frac{π}{2 T} σ_{y} .

El punto indica una derivada temporal. Este control en la dirección $y$ cancela el acoplamiento debido al giro en el sistema de referencia que acompaña al campo. Bajo la suma de ambos hamiltonianos, un autoestado inicial de referencia sigue a su correspondiente autoestado móvil salvo una fase.

Sigue un autoestado del hamiltoniano de referencia; no tiene por qué ser un autoestado instantáneo del hamiltoniano total. Esta distinción importa al definir el objetivo de un controlador aprendido.

La flecha azul representa el estado del espín; el círculo vacío marca el estado fundamental móvil que queremos seguir. El gris indica el campo de referencia correspondiente a $H_{0}$ . El campo naranja añadido, correspondiente a $H_{CD}$ , hace girar el estado para que siga al objetivo. Ambas esferas usan estos mismos colores y la dinámica exacta del modelo anterior.

Dos esferas de Bloch comparan el estado sin control, separado del objetivo, con el estado bajo control contradiabático, que sigue al objetivo. — Dinámica de un espín con y sin control contradiabático. Descargar vídeo (MP4).

Comparar la misma tarea física

Sean $g (t)$ el estado fundamental instantáneo de referencia y $ψ (t)$ el estado que evoluciona. Su fidelidad es

F (t) = {| ⟨ g (t) | ψ (t) ⟩ |}^{2} .

Comparamos la ausencia de control adicional, la mitad del control exacto y el término completo, manteniendo la misma trayectoria de referencia, estado inicial y duración. Con una fracción de control $η$ entre cero y uno y el tiempo normalizado $s = t / T$ , la solución es

\begin{matrix} Q = T^{2} + {(1 - η)}^{2} π^{2}, \\ F_{η} (s) = 1 - \frac{{(1 - η)}^{2} π^{2}}{Q} \sin^{2} (\frac{s \sqrt{Q}}{2}) . \end{matrix}

Fidelidad al estado fundamental frente a la fracción del protocolo transcurrida. Para T igual a dos, el control contradiabático exacto mantiene la fidelidad en uno; el control a media intensidad termina cerca de 0.652 y la evolución sin control cerca de 0.347. — Evolución analítica para T = 2. El término contradiabático completo conserva la fidelidad durante todo el protocolo; a media intensidad quedan transiciones. Las tres curvas parten del mismo estado fundamental de referencia.

Para $T = 2$ , las fidelidades finales son aproximadamente 0.347, 0.652 y 1, respectivamente. La evolución coherente puede devolver un protocolo imperfecto hacia el objetivo: una fidelidad final alta no demuestra por sí sola una evolución sin transiciones, y la fidelidad final sin control no tiene por qué mejorar de forma monótona con la duración.

La integración directa de la ecuación de Schrödinger con DOP853 usó tolerancia relativa $10^{- 11}$ y absoluta $10^{- 13}$ . Para duraciones 0.5, 2 y 10 y fracciones de control 0, 0.5 y 1, la fidelidad coincidió con la fórmula con un error inferior a $2 \times 10^{- 10}$ en 201 instantes equiespaciados; la normalización cumplió la misma cota.

Acelerar la evolución tiene un coste

La cancelación exacta requiere control adicional. Aquí su norma de operador coincide con el módulo del coeficiente de Pauli:

‖ η H_{CD} ‖ = c_{η} = \frac{η π}{2 T} .

El coeficiente de control disminuye con la inversa de la duración. El coeficiente contradiabático exacto duplica al de media intensidad para cualquier duración. — Coeficiente máximo del control adicional para el mismo giro de media vuelta del campo de referencia. Las unidades son ℏΩ para el coeficiente y Ω⁻¹ para el tiempo. La amplitud crece al reducir la duración; el protocolo a media intensidad usa menos control, pero no cancela exactamente las transiciones.

Reducir la duración a la mitad duplica la intensidad necesaria para una fracción de control fija. El barrido lineal también enciende y apaga bruscamente un control no nulo. Un pulso de laboratorio debe respetar límites de amplitud y ancho de banda y puede necesitar extremos suaves.

Para una PINN, estos límites se convierten en restricciones sobre las salidas admisibles.

Qué aprende la PINN

El modelo de espín no necesita aprendizaje: su control es conocido. Los hamiltonianos más difíciles motivan una representación entrenable del operador y de la función de programación temporal. Son funciones distintas, con restricciones físicas diferentes.

Entradas, salidas y pesos compartidos

Para un hamiltoniano de referencia parametrizado por $λ$ , el potencial de gauge adiabático $A_{λ}$ genera el cambio de los autovectores. En la misma convención $ℏ = 1$ , una representación útil es

\begin{matrix} H_{CD} (t) = \dot{λ} (t) A_{λ}, \\ A_{λ} \approx \sum_{j} a_{j} (λ) P_{j} . \end{matrix}

Una red totalmente conectada puede recibir $λ$ y devolver los coeficientes $a_{j}$ . Las capas ocultas, con activaciones suaves como $\tanh$ , componen una función continua; los mismos pesos entrenables determinan sus valores a lo largo de toda la trayectoria. Esto relaciona las predicciones para entradas distintas, en lugar de ajustar un vector de coeficientes independiente en cada punto.

Elegimos los productos de Pauli hermíticos $P_{j}$ entre los controles permitidos. Los coeficientes reales de salida hacen entonces que el operador de prueba sea hermítico por construcción. La base de operadores determina qué puede representarse; la profundidad y la anchura de la red determinan con qué flexibilidad pueden variar sus coeficientes. Ninguna elección garantiza que la optimización tenga éxito.

La física proporciona la señal de entrenamiento

El enfoque de Sels y Polkovnikov proporciona el principio variacional. Definimos

\begin{matrix} G_{λ} = \partial_{λ} H_{0} + i [A_{λ}, H_{0}], \\ S (A_{λ}) = Tr (G_{λ}^{2}) . \end{matrix}

Los corchetes indican un conmutador; la traza recorre el espacio de Hilbert. Para esta formulación de aprendizaje del operador, el ciclo de entrenamiento es:

Muestrear valores fijos de $λ$ a lo largo de la trayectoria de referencia. Reservar puntos distintos para validación; no se proporcionan potenciales de gauge objetivo.
Evaluar la red, construir el operador de prueba y calcular la acción en cada punto usando el hamiltoniano conocido y su derivada respecto del parámetro. Promediar esos valores para obtener la pérdida.
Retropropagar a través de la red y de las operaciones matriciales para derivar la pérdida respecto de los pesos de la red. Un optimizador como Adam actualiza esos pesos; los operadores de Pauli permanecen fijos.
Comprobar la acción y las restricciones adicionales en los puntos de validación. Repetir con distintas inicializaciones para evaluar la reproducibilidad.

La física proporciona así la señal de entrenamiento sin una base de datos de controles óptimos. Minimizar la acción reduce la parte no diagonal de $G_{λ}$ que queda sin cancelar. Incluso para un potencial exacto, $G_{λ}$ no suele anularse: los niveles de energía pueden cambiar a lo largo de la trayectoria. Las componentes de $A_{λ}$ que conmutan con el hamiltoniano de referencia requieren además una convención de gauge si se quiere una representación única.

Prescindir de etiquetas de autoestados no elimina el coste del álgebra de operadores. Las matrices densas y una base completa de Pauli crecen exponencialmente con el número de cúbits. Restringir la base reduce las salidas de la red, pero no elimina por sí solo el coste de las matrices densas y puede dejar un error de aproximación. Entrenar para una familia de hamiltonianos tampoco demuestra transferencia a otro problema.

Aprender la programación temporal

Una segunda red puede determinar cuándo se recorre cada parte de la trayectoria. Con el tiempo normalizado $s$ como entrada y parámetros entrenables $w$ , una posible transformación de la salida es

λ_{w} (s) = s + s (1 - s) N_{w} (s) .

Si la salida de la red es finita, $λ (0) = 0$ y $λ (1) = 1$ se cumplen exactamente. La monotonía, las cotas intermedias y las derivadas nulas en los extremos aún necesitan restricciones adicionales. La diferenciación automática da la derivada respecto de $s$ ; hay que dividirla por $T$ para obtener la derivada temporal física que multiplica al potencial de gauge.

La acción por sí sola no selecciona la mejor programación temporal. Su objetivo de entrenamiento puede combinar el error de transferencia de estado con costes de amplitud o suavidad. Equilibrar estos términos importa: reducir una pérdida puede empeorar otra. La salida restringida anterior ilustra una elección de diseño, no la arquitectura concreta de nuestro artículo.

La PINN de nuestra investigación

Nuestro artículo de 2024 sobre PINN para computación cuántica contradiabática usa una formulación acoplada: el tiempo entra en una única PINN totalmente conectada, que devuelve la programación temporal, las partes real e imaginaria del potencial de gauge y sus coeficientes de Pauli. Estas cantidades se aprenden conjuntamente a partir de restricciones físicas, sin etiquetas de controles de referencia. El ejemplo principal es una representación de dos cúbits del hidrógeno molecular.

La pérdida combina condiciones en los extremos, la condición de conmutación asociada a la acción variacional, una penalización de la velocidad de programación y el acuerdo entre las representaciones matricial y de Pauli. Ajustarse a una expansión de Pauli con coeficientes reales favorece la hermiticidad. Esto difiere de minimizar directamente la acción sobre los coeficientes, como en el ejemplo didáctico anterior. La guía de implementación documenta los términos y sus pesos.

Diagrama de flujo de la PINN conjunta. Los instantes de muestreo entran en una red que predice la programación, la matriz compleja del potencial de gauge y los coeficientes reales de Pauli. La diferenciación automática obtiene la velocidad de programación. Las restricciones físicas definen una pérdida; la retropropagación y Adam actualizan los pesos compartidos. Tras entrenar, una propagación independiente comprueba el hamiltoniano aprendido. — Flujo de la PINN conjunta. La flecha discontinua devuelve las actualizaciones de los pesos a la red; la rama azul evalúa el hamiltoniano aprendido tras entrenar. Las condiciones en los extremos, el conmutador, la velocidad de programación y la consistencia matriz–Pauli aportan la señal de entrenamiento. Esta formulación conjunta difiere del ejemplo didáctico anterior, que solo aprende coeficientes.

El repositorio público de código proporciona código, modelos entrenados y tutoriales Jupyter. Permite conectar el método con cálculos reproducibles; las gráficas del espín en un campo que gira siguen siendo un ejemplo analítico independiente.

Referencia: A. Ferrer-Sánchez et al., Physics-informed neural networks for an optimal counterdiabatic quantum computation, Machine Learning: Science and Technology 5, 025035 (2024).

Comprobaciones para un control aprendido

Que la pérdida de entrenamiento disminuya es solo la primera comprobación. Propaga el hamiltoniano aprendido con un solver dinámico independiente en instantes ausentes del entrenamiento. Reduce sus tolerancias; comprueba la normalización, la fidelidad a lo largo de la trayectoria, la intensidad del control y el comportamiento en los extremos. Si una red representa también el estado, comprueba por separado su residuo de Schrödinger y su condición inicial.

Compara con una optimización variacional directa de los coeficientes o una parametrización temporal sencilla, además de la evolución sin control. Mantén la misma tarea física y los mismos controles permitidos, y contabiliza el entrenamiento y la validación. Así se establece qué aporta la representación neuronal respecto de una buena representación del control. Las afirmaciones sobre hardware requieren además las restricciones de control y el modelo de ruido del dispositivo.