Aprendizaje informado por la física

Aprender de las mediciones y de las leyes físicas

Un sensor de temperatura registra lo que ocurrió en un lugar y en un instante. La ecuación del calor describe cómo puede cambiar la temperatura en todo el dominio. El aprendizaje automático informado por la física reúne ambos tipos de conocimiento en un mismo modelo. Las mediciones restringen el modelo allí donde existen, y la física limita lo que puede predecir entre ellas.

Esa física puede adoptar varias formas: una ecuación diferencial, una ley de conservación, una simetría, un valor conocido en el contorno o una restricción como la positividad. Puede entrar a través de los datos de entrenamiento, de la arquitectura de la red o del objetivo de entrenamiento. Una red construida para respetar la simetría de rotación y una red entrenada con el residuo de una ecuación están ambas informadas por la física, aunque usen el conocimiento físico en lugares distintos.

La motivación es práctica. Las mediciones suelen ser escasas o caras, y un modelo flexible puede ajustarse a todas ellas y predecir, en otras zonas, un comportamiento físicamente imposible. Un modelo físico correcto descarta muchas de esas soluciones candidatas.

De una red neuronal a un solver de ecuaciones diferenciales

Una red neuronal informada por la física, o PINN (del inglés physics-informed neural network), representa un campo físico desconocido mediante una función entrenable. En un problema dependiente del tiempo, las entradas suelen ser la posición y el tiempo, y la salida es el propio campo, por ejemplo una temperatura o una componente de la velocidad.

u_{θ} (x, t) \approx u (x, t)

Los parámetros $θ$ son los pesos y sesgos de la red. Un modelo supervisado convencional aprendería solo de coordenadas emparejadas con valores medidos. Una PINN evalúa además la ecuación que rige el sistema en coordenadas donde la solución es desconocida. Estos puntos de colocación no llevan etiquetas: solo sirven para comprobar si la predicción es coherente con la ecuación.

Una red totalmente conectada transforma x y t, a través de dos capas ocultas, en u theta. La diferenciación automática proporciona su derivada temporal y su segunda derivada espacial, que forman el residuo de la EDP. La salida entra también en los desajustes inicial, de contorno y de observación. Todos los términos se combinan en una pérdida total ponderada, y un paso del optimizador, en línea discontinua, devuelve a la red los parámetros actualizados. — Estructura de una PINN para el ejemplo de difusión que sigue. La salida de la red entra en la diferenciación automática y en cada término de la pérdida, y la pérdida total ponderada guía la actualización de los parámetros.

Intervienen dos derivadas diferentes. La diferenciación automática aplica la regla de la cadena a través de la red para obtener las derivadas de la salida respecto de las entradas, y estas entran en el residuo de la ecuación. El entrenamiento deriva después la pérdida respecto de $θ$ para actualizar los parámetros.

Raissi, Perdikaris y Karniadakis introdujeron esta formulación para resolver e identificar ecuaciones en derivadas parciales no lineales. En el problema directo estándar, los coeficientes y las condiciones inicial y de contorno son conocidos, y la red se entrena para ese único problema. Cambiar un coeficiente suele obligar a entrenar de nuevo. Los métodos que aprenden una aplicación de los datos del problema a sus soluciones pertenecen al aprendizaje de operadores, que se plantea de otra manera.

Un ejemplo concreto: difusión en una barra

Consideremos una barra unidimensional cuyos extremos se mantienen a temperatura cero respecto de una referencia. Con posición y tiempo adimensionales, un coeficiente de difusión positivo $α$ y una temperatura inicial con forma de seno, el problema es

\frac{\partial u}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, α > 0

u (x, 0) = \sin (π x), u (0, t) = u (1, t) = 0

La posición y el tiempo van de cero a uno. La difusión suaviza el perfil y evacua el calor por los extremos fríos. Este problema tiene la solución exacta

u (x, t) = e^{- α π^{2} t} \sin (π x)

Una solución exacta es útil para enseñar y para hacer pruebas, porque cada predicción de la PINN puede compararse con ella. La figura siguiente muestra esta solución analítica.

Perfiles de temperatura exactos con forma de seno que disminuyen entre los tiempos adimensionales cero, un medio y uno. — Perfiles de difusión exactos para α = 0.1. Todas las curvas cumplen las mismas condiciones de contorno de temperatura cero.

Una PINN sustituye la temperatura desconocida por la salida de la red. Al introducir esa salida en la ecuación del calor se obtiene el residuo

r_{θ} (x, t) = \frac{\partial u_{θ}}{\partial t} - α \frac{\partial^{2} u_{θ}}{\partial x^{2}}

El residuo es cero allí donde la red cumple exactamente la ecuación. Un residuo distinto de cero mide cuánto se viola la ecuación en ese punto. Es una magnitud distinta del error en la temperatura, y ambas no tienen por qué ser de tamaño parecido.

Construcción de la función de pérdida

El entrenamiento puede usar cuatro tipos de información: la ecuación en el interior, el estado inicial, los valores en el contorno y las mediciones disponibles. La formulación habitual impone las condiciones mediante penalizaciones y suma los términos con pesos,

ℒ = λ_{r} ℒ_{r} + λ_{i} ℒ_{i} + λ_{b} ℒ_{b} + λ_{d} ℒ_{d}

y, para la barra, los términos individuales son

\begin{array}{l} ℒ_{r} = \frac{1}{N_{r}} \sum_{j = 1}^{N_{r}} {| r_{θ} (x_{j}, t_{j}) |}^{2} \\ ℒ_{i} = \frac{1}{N_{i}} \sum_{j = 1}^{N_{i}} {| u_{θ} (x_{j}, 0) - \sin (π x_{j}) |}^{2} \\ ℒ_{b} = \frac{1}{N_{b}} \sum_{j = 1}^{N_{b}} {| u_{θ} (x_{j}, t_{j}) |}^{2} \\ ℒ_{d} = \frac{1}{N_{d}} \sum_{j = 1}^{N_{d}} {| u_{θ} (x_{j}, t_{j}) - y_{j} |}^{2} \end{array}

Cada término es una media sobre su propio conjunto de puntos. Los puntos del residuo están en el interior del dominio espacio-temporal, los puntos iniciales en el tiempo cero y los puntos de contorno en los dos extremos de la barra, donde la temperatura objetivo es cero. Los puntos de observación llevan temperaturas medidas $y$ .

Los pesos $λ$ fijan cuánto contribuye cada término. Elegirlos es más difícil de lo que parece, porque los residuos, los errores de contorno y los errores en los datos pueden diferir en varios órdenes de magnitud. Reescalar las variables para que sean de orden uno ayuda. Los pesos iguales no garantizan la misma influencia de cada término en los gradientes respecto de los parámetros.

En un problema directo con todas las condiciones especificadas, el término de observación es opcional y puede eliminarse. En un problema inverso, las mediciones sirven también para estimar coeficientes desconocidos como $α$ . Que un coeficiente pueda recuperarse depende de lo informativas que sean las mediciones, así que un desajuste pequeño con los datos no demuestra por sí solo que la estimación sea única.

Penalizaciones y restricciones exactas

Un término de penalización empuja la red hacia una condición sin imponerla. En la barra, el perfil inicial y los valores nulos en el contorno pueden incorporarse directamente en la representación:

u_{θ} (x, t) = \sin (π x) + t x (1 - x) N_{θ} (x, t)

El segundo término se anula en $t = 0$ y en $x = 0$ y $x = 1$ para cualquier salida acotada de la red, de modo que ambas condiciones se cumplen exactamente. Esta construcción funciona porque aquí las condiciones son sencillas y compatibles. Otras geometrías y otros operadores de contorno necesitan sus propias construcciones, y eliminar algunos términos de la pérdida puede mejorar o empeorar el condicionamiento de la optimización restante.

Por qué no basta con la ecuación

El campo de temperatura nulo cumple la ecuación del calor y las condiciones de contorno nulas. Solo incumple la condición inicial. Una red que colapsa a cero tiene, por tanto, residuo nulo en todo el dominio y aun así resuelve un problema equivocado.

El perfil inicial requerido, con forma de seno, alcanza el valor uno en el centro, mientras que el candidato de campo nulo vale cero en toda la barra. — En t = 0, el campo nulo tiene residuo cero y los valores de contorno correctos, pero no reproduce el perfil inicial requerido.

Si se omite el término de observaciones, el campo nulo y la solución verdadera difieren solo en la pérdida de la condición inicial. Seguir cada término de la pérdida durante el entrenamiento, además de su suma, muestra qué condición incumple cada candidato.

¿Qué ocurre durante el entrenamiento?

Definir el problema físico: los campos, el dominio, la ecuación y unas condiciones inicial y de contorno compatibles. Reescalar las variables y decidir qué coeficientes son conocidos.
Elegir la red y decidir qué condiciones, si las hay, se imponen de forma exacta. El residuo de una ecuación de segundo orden requiere segundas derivadas de la salida, por lo que las activaciones suaves como $\tanh$ son una elección habitual.
Muestrear puntos interiores, iniciales, de contorno y de observación. Reservar un conjunto de puntos aparte para la validación.
Evaluar la red y sus derivadas respecto de las coordenadas, y calcular cada residuo y cada desajuste.
Derivar la pérdida ponderada respecto de $θ$ y dar un paso del optimizador. Repetir hasta que los términos individuales de la pérdida dejen de disminuir.
Validar con datos que la red nunca ha visto, como una solución analítica o un solver numérico de confianza.

Ciclo de entrenamiento: predecir, evaluar la pérdida, actualizar los parámetros y repetir. — El entrenamiento de una PINN: de la predicción a la actualización de los parámetros. Descargar vídeo (MP4).

En la barra, la validación puede usar el error $L^{2}$ discreto relativo sobre una malla espacio-temporal independiente:

E_{rel} = \sqrt{\frac{\sum {(u_{θ} (z_{j}) - u (z_{j}))}^{2}}{\sum {u (z_{j})}^{2}}}

Este número resume el error solo en la malla elegida. Conviene informar también del error máximo y del desajuste en el contorno, porque una media pequeña puede ocultar un error local grande. Repetir el entrenamiento con distintas semillas aleatorias y muestras de puntos indica hasta qué punto el resultado es reproducible.

Dónde ayuda el aprendizaje informado por la física

Una PINN entrenada es una función diferenciable que puede evaluarse en cualquier punto del dominio. Esto la hace práctica en problemas que combinan ecuaciones con datos incompletos: problemas inversos, asimilación de datos y diseño sujeto a restricciones físicas. La misma pérdida puede incluir un objetivo de control, y así se usan las PINN en control óptimo.

Entre las aplicaciones figuran flujos reconstruidos a partir de mediciones dispersas de velocidad, coeficientes de transporte estimados a partir de datos de temperatura, dinámica cuántica controlada, y ecuaciones de campo acopladas y problemas de autovalores en física relativista. Cada una necesita su propia elección de representación, de muestreo y de comprobaciones de referencia.

En los problemas directos bien planteados, los solvers clásicos de diferencias finitas, volúmenes finitos, elementos finitos y métodos espectrales son la referencia que hay que superar, y a menudo ganan en precisión y en coste. Una comparación justa tiene en cuenta el tiempo de entrenamiento además del de evaluación, e indica el hardware y la precisión alcanzada.

Limitaciones que importan en la práctica

El entrenamiento puede fallar incluso cuando la red es lo bastante expresiva para representar la solución. Los términos de la pérdida pueden competir entre sí, y el operador diferencial puede dejar la optimización mal condicionada. Krishnapriyan y sus colaboradores documentaron fallos de este tipo en problemas de convección, reacción y reacción-difusión, y mostraron que la regularización por currículo y el entrenamiento secuencia a secuencia pueden recuperar soluciones precisas.

Los frentes abruptos, los choques, el comportamiento multiescala y los horizontes temporales largos son difíciles para la formulación estándar. En una discontinuidad la derivada clásica no existe, así que un residuo puntual pierde su sentido. Las formulaciones débiles, la descomposición de dominios y los esquemas conservativos pueden ser útiles, pero su idoneidad depende de la ecuación y del tipo de discontinuidad.

También hay costes y puntos ciegos. Las derivadas de orden superior mediante diferenciación automática son caras para lotes grandes de puntos de colocación. Una muestra dispersa puede pasar por alto una región estrecha donde el error es grande. Si la ecuación que rige el sistema es incorrecta, el término físico sesga la predicción en lugar de corregirla. Una PINN determinista estándar no proporciona por sí sola una estimación de la incertidumbre.

Relación con mi investigación

Los trabajos siguientes aplican estas ideas a problemas más difíciles que una barra en difusión. Resuelven ecuaciones de evolución, aprenden protocolos de control y calculan autovalores, y cada uno requirió una formulación adaptada a su física.

Gradient-annihilated PINNs for solving Riemann problems: Application to relativistic hydrodynamics

2024 · Artículo de revista · Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering

Introduce una pérdida física ponderada que reduce la influencia de los gradientes abruptos al aprender soluciones discontinuas. Las pruebas con problemas de Riemann relativistas evalúan cómo captura el método los choques y otras discontinuidades del fluido.

Artículo de revista ↗

Addressing the gravitational collapse of a massless scalar field with physics-informed neural networks

2026 · Artículo de revista · Machine Learning: Science and Technology

Compara arquitecturas neuronales para la dispersión y el colapso gravitatorio de un campo escalar, incluido el umbral de formación de agujeros negros. El estudio analiza cómo influyen el diseño de la red y el muestreo adaptativo en la precisión y la estabilidad.

Artículo de revista ↗ · Código ↗

Physics-informed neural networks for an optimal counterdiabatic quantum computation

2024 · Artículo de revista · Machine Learning: Science and Technology

Aprende controles contradiabáticos a partir de restricciones físicas para suprimir transiciones no deseadas durante la computación cuántica. Un ejemplo molecular de dos cúbits muestra el diseño conjunto de los protocolos de control y de los potenciales de gauge adiabáticos.

Artículo de revista ↗ · Código ↗

Physics-Informed Neural Networks for Maximizing Quantum Fisher Information in Time-Dependent Many-Body Systems

2026 · Preprint · arXiv:2604.18506

Emplea redes neuronales informadas por la física para diseñar protocolos de control que aumentan la información de Fisher cuántica en sistemas de espines forzados. El trabajo relaciona la dinámica y el control cuánticos con una mayor sensibilidad en la estimación de parámetros.

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Kerr Quasinormal Modes without Variable Separation: A Two-Dimensional Hyperboloidal Teukolsky Solver with Physics-Informed Neural Networks

2026 · Preprint · arXiv:2608.19774

Calcula las frecuencias de oscilación de agujeros negros en rotación con redes neuronales informadas por la física. Un solver bidimensional mantiene la estructura radial y angular acoplada, sin separación de variables.

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Un punto de partida práctico

Empieza por un problema cuya solución puedas comprobar de forma independiente, como la barra anterior. Anota las unidades, el dominio y todas las condiciones antes de elegir una red. Sigue cada término de la pérdida por separado y mide el error en puntos que no se hayan usado en el entrenamiento. Los datos dispersos, los coeficientes desconocidos y las ecuaciones más difíciles pueden venir después, cuando esta base funcione.