Fluidos relativistas y PINNs

Cuando el fluido es relativista

Una diferencia de presión pone un fluido en movimiento. A velocidades relativistas, su evolución acopla la masa en reposo, el momento y la energía mediante el factor de Lorentz. La presión y la energía interna también contribuyen a la inercia del fluido. Las ecuaciones de Euler deben incorporar estos efectos.

Aquí consideramos un fluido perfecto en el espaciotiempo de Minkowski: un espaciotiempo plano, sin términos fuente gravitatorios en coordenadas cartesianas. Un tubo de choque unidimensional permite observar las ondas de densidad, presión y velocidad, y estudiar cómo una red neuronal informada por la física puede representar su evolución.

Las ecuaciones en un espaciotiempo plano

Sean $ρ$ la densidad de masa en reposo medida con el fluido, $p$ su presión y $u^{μ}$ su cuadrivelocidad. Fijamos $c = 1$ y usamos la signatura métrica $(-, +, +, +)$ . La conservación de la masa en reposo y de la energía–momento se escribe como

\begin{array}{l} \partial_{μ} (ρ u^{μ}) = 0, \partial_{μ} T^{μ ν} = 0 \\ T^{μ ν} = ρ h u^{μ} u^{ν} + p η^{μ ν} \end{array}

Aquí $η^{μ ν}$ es la métrica de Minkowski. El tensor de energía–momento de un fluido perfecto contiene la entalpía específica $h$ . Para un gas ideal con índice adiabático $Γ$ , el sistema se cierra mediante

\begin{array}{l} u^{μ} = W (1, v^{x}, v^{y}, v^{z}) \\ W = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} \\ h = 1 + ε + \frac{p}{ρ}, p = (Γ - 1) ρ ε \end{array}

Aquí $ε$ es la energía interna específica y $v^{2}$ es el cuadrado de la rapidez tridimensional. La densidad $ρ$ se mide en el sistema de reposo del fluido; la velocidad y las densidades conservadas siguientes se refieren al sistema de laboratorio elegido.

Para un movimiento en una dirección cartesiana, sin velocidad transversal, el sistema queda

\begin{array}{l} \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} = 0 \end{array}

\begin{array}{l} U = (\begin{matrix} D \\ S \\ τ \end{matrix}), F = (\begin{matrix} D v \\ S v + p \\ S - D v \end{matrix}) \\ D = ρ W, S = ρ h W^{2} v \\ τ = ρ h W^{2} - p - D \end{array}

Las tres componentes son la densidad de masa en reposo en el laboratorio $D$ , la densidad de momento $S$ y la densidad de energía excluida la energía de masa en reposo $τ$ . Sus flujos describen lo que atraviesa una superficie fija. El factor de Lorentz acopla las variables primitivas con las tres cantidades conservadas. La revisión de Martí y Müller desarrolla esta formulación y su solución numérica.

Abrir un tubo de choque relativista

Al principio, dos fluidos uniformes se mueven a la derecha a la mitad de la velocidad de la luz, separados en $x = 0$ . El lado izquierdo es más denso y tiene mayor presión. Elegimos $Γ = \frac{5}{3}$ y los siguientes estados:

Estado inicial	Densidad de masa en reposo	Presión	Velocidad
Izquierdo	1	1	0.5
Derecho	0.125	0.1	0.5

La densidad se mide en unidades de la densidad inicial izquierda; la presión, en esa densidad multiplicada por $c^{2}$ ; y la velocidad, en unidades de $c$ . La posición usa una escala de longitud arbitraria. La unidad de tiempo es el tiempo que tarda la luz en recorrer esa longitud.

La diferencia de presión modifica el flujo. Las superficies representan muestras de la solución exacta de Riemann en posición y tiempo. Selecciona una variable, gira la vista y mueve el control de tiempo para examinar su perfil.

Superficies de densidad, presión y velocidad en posición y tiempo. Un abanico de rarefacción se expande, un contacto separa dos densidades y un choque avanza a la derecha. — Evolución del tubo de choque relativista. Las coordenadas horizontales son posición y tiempo; la altura representa la variable del fluido seleccionada.

Interpretar las tres ondas

El salto inicial se separa en tres estructuras:

Rarefacción. Un abanico en expansión penetra en el estado izquierdo de mayor presión. La densidad y la presión disminuyen de forma continua, mientras el fluido acelera hacia la derecha.
Discontinuidad de contacto. Dos fluidos se encuentran a la misma presión y velocidad, pero con densidades distintas. El contacto se mueve con el fluido.
Choque. Una compresión abrupta se propaga hacia el estado derecho. La densidad, la presión y la velocidad cambian al atravesarla.

El contacto avanza aproximadamente a 0,769 veces la velocidad de la luz; el choque, a 0,936. Por tanto, la onda puede avanzar más deprisa que el material que deja detrás. El panel de velocidad muestra esta diferencia: la velocidad del fluido entre la rarefacción y el choque es aproximadamente 0,769, distinta de la velocidad del choque.

Densidad, presión y velocidad en el instante 0.4. La densidad salta en el contacto, donde presión y velocidad son continuas. Las tres cambian en el choque. — Perfiles en el instante 0,4. La zona sombreada marca la rarefacción; las líneas discontinuas y punteadas indican el contacto y el choque.

En un choque, las derivadas ordinarias no bastan. Integrar las leyes de conservación a través del frente móvil da

\begin{array}{l} [F] = s [U] \end{array}

Los corchetes indican la diferencia entre los estados derecho e izquierdo, y $s$ es la velocidad del frente. Deben cumplirse los tres balances. El choque físico también satisface la condición de entropía. La construcción de Riemann relativista combina estas condiciones de salto con la solución suave de la rarefacción.

Qué aprende la red neuronal

Una PINN recibe posición y tiempo y predice las variables primitivas:

\begin{array}{l} N_{θ} (t, x) = (ρ_{θ}, p_{θ}, v_{θ}) \\ R_{θ} = \frac{\partial U_{θ}}{\partial t} + \frac{\partial F_{θ}}{\partial x} \end{array}

Estas salidas determinan el factor de Lorentz, la entalpía, el estado conservado y el flujo. La diferenciación automática evalúa después las derivadas temporales y espaciales de los residuos de Euler. El entrenamiento combina esos residuos con los estados iniciales y las condiciones de contorno, y actualiza los parámetros de la red mediante retropropagación.

Durante este intervalo, las ondas permanecen dentro del dominio y sus extremos conservan los estados iniciales. La parametrización de las salidas puede imponer densidad y presión positivas y una rapidez inferior a la de la luz. Estas cotas ayudan a mantener predicciones físicamente admisibles; la red aún debe aprender las ecuaciones de conservación.

Predecir directamente las variables primitivas resulta práctico: un método conservativo convencional debe recuperarlas del estado conservado que evoluciona, lo que requiere una inversión no lineal en hidrodinámica relativista. La representación neuronal evita esa inversión durante la evaluación, a cambio de resolver su propio problema de entrenamiento.

Aprender a través de un choque

En un choque, una red suave representa el salto mediante una transición estrecha. Sus derivadas pueden crecer mucho y el residuo puntual de Euler puede dominar el entrenamiento.

Nuestro artículo sobre GA-PINNs aborda este problema con un peso que depende de los gradientes. Si $q_{θ}$ reúne las predicciones de densidad, presión y velocidad, una de sus formas es

\begin{matrix} Λ = \frac{1}{1 + G}, \\ G = \sum_{k \in {ρ, p, v}} α_{k} {| \partial_{x} q_{θ, k} |}^{β_{k}} . \end{matrix}

Los parámetros positivos $α_{k}$ y $β_{k}$ regulan la influencia de cada gradiente. Con gradientes pequeños, el peso es cercano a uno. En un frente abrupto, $Λ$ disminuye y reduce la contribución de ese punto al residuo cuadrático. Esto puede reducir la tendencia a suavizar el salto, manteniendo las restricciones de las ecuaciones donde los gradientes son pequeños.

Tras el ejemplo de ponderación, la animación compara una predicción GA-PINN con la solución analítica exacta en $t = 0.5$ . Las curvas negras muestran la referencia; las curvas de color y los círculos abiertos, la predicción. Una vista ampliada permite examinar cómo la red resuelve el contacto y el choque. La predicción procede del modelo guardado en el repositorio público, que añade ponderación causal al método del artículo.

Solución analítica exacta en negro y predicción GA-PINN en color para densidad, presión y velocidad. — Ondas relativistas, ponderación por gradientes y predicción GA-PINN frente a la referencia analítica. Descargar vídeo (MP4).

Tras el entrenamiento, comprueba las posiciones de las ondas y los tres balances de conservación en puntos separados de los usados para entrenar. Comprueba también la positividad de densidad y presión, la cota de velocidad y el balance a través del choque. La solución exacta del tubo ofrece una referencia para cada prueba, incluido el contacto que aparece en la densidad, pero no en la presión ni en la velocidad.